• Выбрать инвестиционную компанию. Сейчас их существует достаточно много, особенно в крупных городах. Они различаются тарифами на брокерское обслуживание. Покупая и продавая акции через своего брокера, Вы будете платить ему, согласно тарифу, небольшую сумму (см. стандартный пример тарифов на брокерское обслуживание). Как правило, это суммы почти неощутимы – доли процентов от Вашей сделки, но для брокера, у которых таких клиентов, как Вы, много – это реальный заработок. 
• Документы для заведения договора. Скачать с сайта документы, необходимые для заведения договора (см., напр., здесь), заполнить их и переслать по электронной или обычной почте в инвестиционную компанию. Еще быстрее будет съездить туда лично – заодно удостоверитесь в качестве компании, посмотрите на их офис и т.д. 
• Подписать договор (лично или по почте), получить логин и пароль. 

    Выбор, какого типа ценные бумаги Газпрома Вы хотите купить 
Большинство крупных компаний выпускает два вида ценных бумаг: акции и облигации (существуют еще и другие бумаги, например, фьючерсы, опционы, но ими пользуются скорее профессионалы). 

Облигации – это просто заем денег у человека, купившего облигацию, с обязательством вернуть их с процентами. Существует два типа облигаций: процентные (Вы покупаете облигацию Газпрома за 1000 рублей и каждый год получаете по ней проценты, а по окончании периода, на который выпущена облигация, Вам возвращают Ваши изначальные 1000 рублей). Второй тип облигаций – беспроцентные, когда Вы покупаете акцию по цене ниже номинальной стоимости (например, Вы покупаете облигацию Газпрома стоимостью в 1000 рублей за 900 рублей; таким образом в конце Вы получаете прибыль 100 рублей). 

Акция – это по сути покупка маленькой доли той компании, которая выпустила акцию. Покупая акцию Газпрома, Вы становитесь, хоть и маленьким, но совладельцем компании и получаете определенные права: на участие в управлении этой компанией (голосуете на общих собраниях акционеров), на прибыль, заработанную компанией (дивиденды). 

Акции бывают обыкновенные и привилегированные. На рынке в настоящий момент продаются только обыкновенные акции Газпрома. (Примечение: эти названия несколько условны, т.к. нельзя однозначно сказать, что привилегированные акции Газпрома лучше обыкновенных акций Газпрома. Они различаются следующими моментами: привилегированные акции всегда стоят первыми в очереди на получение дивидендов. Если в какой-то момент у Газпрома окажется мало прибыли, то по обычкновенным акциям может быть принято решение не выплачивать дивиденды, тогда как по привилегированным акциям такое случается крайне редко. 
С другой стороны привилегированные акции обделены возможностями участия в управлении компанией. Их голос не играет никакой роли на собраниях акционеров, однако, это скорее важно для крупных инвесторов, которые своим пакетом акций могли бы реально повлиять на какие-то решения.)